ЛЕКЦІЯ 6
Ряди у комплексній площині
§ 1. Числові ряди. Збіжність. Ознаки збіжності. Абсолютна збіж-ність
Нехай задано числову послідовність комплексних чисел .
Числовим рядом у комплексній площині називають вираз виду
. (1.1)
Ряд (1.1) називається збіжним, якщо збігається числова послідовність частинних сум . При цьому границю називають сумою ряду (1.1). Оскільки , то для збіжності ряду (1.1) необхідно і достатньо, щоб збігалися числові ряди, побудовані з дійсних та уявних частин.
Ряд
(1.2) називають m-им залишком числового ряду (1.1)
Якщо ряд (1.1) є збіжним, то і для .
Критерій Коші (необхідна і достатня умова збіжності числового ряду):
, (1.3)
Це прямий наслідок критерію Коші для збіжної числової послідовності.
Необхідною умовою збіжності числового ряду (1.1) є умова
.
Справді, якщо існує , то внаслідок виконання критерію Коші (для )
,
звідки випливає, що .
Числовий ряд (1.1) називають абсолютно збіжним, якщо збігається числовий ряд , побудований з абсолютних величин . Якщо числовий ряд (1.1) є абсолютно збіжним, то він є і збіжним, але не навпаки.
Справді, з нерівності випливає, що якщо виконується критерій Коші для ряду , то критерій Коші виконується і для ряду (1.1).
Якщо ряд (1.1) є збіжним, а ряд – розбіжним, то кажуть, що ряд (1.1) є умовно збіжним.
Оскільки ряд є рядом з додатними членами, то для дослідження його на збіжність використовують всі ознаки збіжності рядів з додатними членами: ознаку порівняння, ознаку Даламбера, ознаку Коші.
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд .
▪ Оскільки , то дослідимо на збіжність ряди і . Для послідовностей не виконується необхідна умова збіжності ряду. Тому ряди і є розбіжними, а значить і ряд є розбіжним.▪
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд .
▪ Дослідимо ряд на абсолютну збіжність. Оскільки , то
.
За ознакою Даламбера , тобто ряд є збіжним, отже, за ознакою порівняння ряд є також збіжним. Отже, ряд збігається абсолютно і є збіжним рядом.▪
Збіжні числові ряди в комплексній площині володіють всіма властивостями збіжних числових рядів з дійсними членами.
§ 2. Функціональні ряди. Область збіжності. Рівномірна збіжність. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів
Нехай в області визначено функціональну послідовність однозначних функцій комплексної змінної .
Функціональним рядом називають вираз
. (2.1)
Очевидно, що для всіх фіксованих ряд (2.1) перетворюється у числовий ряд (1.1). Функціональний ряд (2.1) називають збіжним в області , якщо для відповідний йому числовий ряд є збіжним. Якщо функціональний ряд є збіжним в області , то в цій області можна означити однозначну функцію , значення якої в кожній точці дорівнює сумі відповідного числового ряду, тобто . Це означає, що для
.
Область у цьому випадку називають областю збіжності функціонального ряду.
Як і на множині дійсних чисел, важливе місце в теорії функцій комплексної змінної займає поняття рівномірної збіжності.
Функціональний ряд (2.1) рівномірно збігається до своєї суми в області тоді і тільки тоді, коли
(2.2)
або
, (2.3)
де – залишок функціонального ряду.
Теорема 2.1. Для того, щоб функціональний ряд (2.1) був збіжним (рівно-мірно збіжним) в області до своєї суми , необхідно і достат-ньо, щоб в області були збіжними (рівномірно збіжними) до функцій функціональні ряди і , де .
Використовуючи означення збіжності (рівномірної збіжності) функці-онального ряду і нерівності , теорема легко доводиться.
Достатня ознака збіжності функціонального ряду
Теорема 2.2 (ознака Вейєрштрасса). Функціональний ряд (2.1) збігається в області рівномірно та абсолютно, якщо існує збіжний числовий ряд з додатними членами такий, що
. (2.4)
Доведення.
► За умовами теореми ряд збігається:
.
Внаслідок рівномірної оцінки , всюди в області для виконується нерівність
,
а це означає, що ряд (2.1) є абсолютно і рівномірно збіжним. ◄
Ряд називають мажорантою...